Kap Krökning i allmän parametrisering. Endast sid 619 och Exempel 2 sid 621. Teori: Sid 619. Härledning av v a = v 3 κ ˆB så att κ = v a /v 3
|
|
- Hanna Lundberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TMV160/TMV191 Analys i flera variabler M+T, AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. Kap Vektorvärd funktion v(t). eriveringsregler, ats 1. Kap Parametrisering av kurvor: r = r(t), a t b Tangent (hastighet): v = T = dr Fart: v = v. Acceleration: a = dv Båglängelement: = dr Båglängparametrisering: r = r(s), 0 s L Fart: v = T = dr = 1 Kap Krökning. Endast sid I båglängparametrisering: enhetstangenten ˆT = dr Krökning: κ(s) = d ˆT. Krökningsradie: ρ(s) = 1/κ(s). erivera 1 = ˆT 2 = ˆT ˆT, 0 = 2 ˆT(s) d ˆT d ˆT, så att en normal fås av N(s) = Enhetsnormalen: ˆN(s) = d ˆT ˆT / d Binormalen: ˆB(s) = ˆT(s) ˆN(s) Kap Krökning i allmän parametrisering. Endast sid 619 och Exempel 2 sid 621. Teori: id 619. Härledning av v a = v 3 κ ˆB så att κ = v a /v 3 Teori: Exempel 2. Graf: y = f(x). Härledning av κ(x) = Kap Visualisering. Graf: z = f(x, y) Nivåkurvor: f(x, y) = Nivåytor: f(x, y, z) = Matlab: meshgrid, mesh, surf, slice Kap efinition av gränsvärde. f(x, y) = L lim (x,y) (a,b) dvs f(x, y) L då avståndet (x a) 2 + (y b) 2 0. Kunna avgöra om gränsvärde existerar i enkla fall. efinition av kontinuitet. f (x) (1 + f (x) 2 ) 3/2 Kap efinition av partiell derivata. Graf: z = f(x, y). Beräkna tangenter, normalvektor och tangentplanets ekvation. (sid 654) Kap Partiella derivator av högre ordning. Kunna ats 1 (Blandade derivator är lika) utan bevis. Exempel 3 (Laplaces ekvation). Exempel 4 (Vågekvationen). Kap Kedjeregeln. Endast sid och Exempel 10, sid 670. ate: , tig Larsson, Matematiska vetenskaper, halmers tekniska högskola. 1
2 2 AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. Kap eriverbarhet. Linjäriseringen: L(x, y) = f(a, b) + f 1(a, b)h + f 2(a, b)k, h = x a, k = y b Funktionen f(x, y) är deriverbar i (a, b) om linjäriseringen är en bra approximation till f(x, y) nära (a, b). Mera precist (efinition 5): om f(a + h, b + k) f(a, b) f lim 1(a, b)h f 2(a, b)k = 0 h2 +k 2 0 h2 + k 2 Ej ats 3. ats 4 (Om partiella derivatorna kontinuerliga i omgivning till (a, b) så är f deriverbar i (a, b).) Utan bevis. ats 5 (Kedjeregeln.) Utan bevis. Anteckningar Fö 2.2. Linjärisering. Jacobimatris. Newtons metod. Kunna skriva dessa saker på matrisform. Kedjeregeln på matrisform. Teori: Härledning av Newtons metod med hjälp av linjärisering. Kunna skriva ned algoritmen med Matlab-beteckningar: function x = newton(f,x0,tol) x = x0; h = tol + 1; while norm(h)>tol A = jacobi(f,x); b = -f(x); h = A\b; x = x + h; end % evaluate the Jacobian A=f(x) % evaluate the residual b=-f(x) % solve the linearized equation % update Kap Gradient och riktningsderivata. (ej Rates perceived... sid 685) Nabla-operatorn: = x i + y j + z k Teori: ats 6 (Gradienten är normalvektor till nivåkurva.) Med bevis. efinition av riktningsderivata: u f(a, b) = d f(a + tu, b + tv) t=0. Teori: ats 7 ( u f(a, b) = u f(a, b)) Med bevis. Tolkning av gradienten som den riktning dit f ökar mest. Kap Taylors formel. Endast Taylor-polynom av grad 2, sid P 2 (x, y) = f(a, b) + f x(a, b)h + f y(a, b)k = f(a, b) + [ f x(a, b) f y(a, b) ] [ ] h k (f xx(a, b)h 2 + 2f xy(a, b)hk + f yy(a, b)k 2 ) [ ] [ [ ] f h k xx(a, b) f xy(a, h f xy(a, b) f yy(a, b)] k med Jacobi-matrisen (gradientvektorn) och Hesse-matrisen f (a, b) = f(a, b) = [ f x(a, b) f y(a, b) ] [ ] f, f (a, b) = 2 f(a, b) = xx(a, b) f xy(a, b) f xy(a, b) f yy(a, b) Kap Extremvärdesproblem. ats 1 (Nödvändiga villkor för extremvärde.) Utan bevis. ats 2 (Tillräckliga villkor för extremvärde.) Utan bevis. ats 3 (Andra-derivata-testet.) Utan bevis. Kunna undersöka funktion f : R N R med avseende på extrempunkter (max, min, sadelpunkter) med hjälp av ats 1 och ats 3. Använd ej Remark sid 712! et är en ointressant handräkningsmetod som bara fungerar då N = 2. Godkänns ej på tentamen.
3 AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. 3 Kap ubbelintegralen. Kunna definiera dubbelintegralen Kunna integralens egenskaper sid 758 utan bevis. f(x, y) da som gränsvärde av Riemann-summa. Kap Kunna beräkna dubbelintegral med upprepad integration om området är enkelt i y-led eller enkelt i x-led. Kap Generaliserad dubbelintegral. Medelvärdessatsen. Integralen f(x, y) da är generaliserad om är obegränsad eller om f är obegränsad i. Om f(x, y) 0 i så är integralen antingen konvergent eller så divergerar den mot oändligheten. å kan man avgöra om integralen är konvergent eller divergent genom upprepad integration. ats 3 (Medelvärdessatsen.) Utan bevis. Kap Polära koordinater. Viktigt att kunna räkna med polära koordinater. Areaelementet: da = r dr dθ { x = x(u, v) Allmän variabeltransformation: y = y(u, v) (x, y) Areaelementet: da = du dv (u, v) obs: det är absolutbeloppet av Jacobi-determinanten (determinanten av Jacobi-matrisen) Kap Trippelintegralen f(x, y, z) dv Kan beräknas med upprepad integration om området är enkelt. Kap Variabeltransformation. x = x(u, v, w) Allmän variabeltransformation: y = y(u, v, w) z = z(u, v, w) (x, y, z) Volymselementet: dv = du dv dw (u, v, w) obs: absolutbeloppet av Jacobi-determinanten (determinanten av Jacobi-matrisen) ylinderkoordinater. Viktigt! färiska koordinater. Viktigt! Kap Endast Moments and entres of Mass sid Anteckningar Fö 4.2 FEM1. Randvärdesproblem i 1-. Finita elementmetoden. (a(x)u(x)) = f(x), för x I = (K, L), a(x) n u(x) + k(x)(u(x) u A ) = g(x), för x = K, x = L. Känna igen och känna betydelsen av alla termer i randvärdesproblemet för värmeledning och mekanik (ej T). Kunna härleda den svaga formuleringen för problem av denna typ. Kunna lösa enkla specialfall genom upprepad integration. Teori: Kunna härleda finita elementmetoden. Kap Vektorfält. kalärt fält. Fältlinjer. Kap Konservativt fält om F = φ. Kap Kurvintegral. Parametrisera kurvan, sedan Beror ej på valet av parametrisering. f(x, y, z) = a f(r(t)) dr.
4 4 AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. Kap Tangentkurvintegral. Integrera tangentkomponenten av vektorfält: F dr = F ˆT dr = F(r(t)) a dr dr = Tangentbåglängelementet: dr = ˆT = dr. ats 1 (Oberoende av vägen.) Utan bevis. Kap Ytintegral. Endast sid Parametrisera ytan, r = r(u, v) dvs x = x(u, v) y = y(u, v) a u b, c v d. z = z(u, v) Koordinatkurvor: r = r(u, v 0 ), a u b, r = r(u 0, v), c v d. Tangenter: r(u 0, v 0 ), r(u 0, v 0 ) u v En normalvektor: N = r(u 0, v 0 ) r(u 0, v 0 ) u v Areaelementet: d = r u r du dv v Ytintegralen: f d = f(r(u, v)) r u r du dv v Teori: Graf: z = f(x, y). Härled ytelementet d = a F(r(t)) dr. 1 + f x(x, y) 2 + f y(x, y) 2 dx dy Kunna parametrisera ytor med hjälp av cylinderkoordinater och sfäriska koordinater. Kap Flödesintegral (normalytintegral). Orienterad yta: har enhetsnormalvektorfält ˆN som varierar kontinuerligt över. Integrera normalkomponenten av vektorfält: F d = F ˆN d. Kap iv, grad, rot. efinition av dessa deriveringsoperatorer. Kap eriveringsregler för div, grad, rot. Teori: ats 3. Bevis av a,b,c,d,g,h. ats 4 utan bevis. Anteckningar Fö 6.2 FEM2. Randvärdesproblem i flera variabler. Finita elementmetoden. Teori: Härled följande partialintegrationsformel i flera variabler. Fφ dv = ˆN Fφ d F φ dv Teori: Härled värmeledningsekvationen: (a u) = f i. Känna igen och känna betydelsen av alla termer i randvärdesproblemet för värmeledning: (a u) = f i, a ˆNu + k(u u A ) = g på 2 (Neumann/Robin), u = u A på 1 (irichlet), Kunna härleda den svaga formuleringen för problem av denna typ.
5 AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. 5 Kap Greens formel i planet. Teori: ats 6. Bevisa Greens formel i rektangel. Teori: ats 7. Formulera och bevisa divergenssatsen i planet. Kap Gauss divergenssats i rummet utan bevis. Mycket viktig! Kap tokes sats utan bevis. Mindre viktig. Kap Endast härledning av kontinuitetsekvationen sid
MVE255/TMV191 Matematisk analys i flera variabler M/TD 2011 12 SAMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR.
MVE255/TMV191 Matematisk analys i flera variabler M/T 2011 12 AMMANFATTNING. TEORIFRÅGOR. Teorifrågor är inrutade nedan. Kap 11.1. Vektorvärd funktion v(t). eriveringsregler, ats 1. Kap 11.3. Parametrisering
Läs merLäsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed.
Läsanvisningar till: R.A. Adams, Calculus, a Complete Course, 4th ed. Del 2 (funktioner av flera variabler). Omfattning: Kapitel 8.2, 8.3 t.o.m. s 497, 8.4, endast båglängd, 8.5 tom s. 506, 10.1, 10.5,
Läs mer2.5 Partiella derivator av högre ordning.
2.3 Kedjeregeln Pass 4 Antag att: 1. funktionen f( x) = (f 1 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )) är dierentierbar i N R n ; 2. funktionen g( t) = (g 1 (t 1, t 2,..., t p ),..., g n (t 1,
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merOutline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09
Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se 7 oktober 2009 1 Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht09
Läs merTentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs mer5B1107 Differential- och integralkalkyl II, del 2 för F1, 6 poäng, vt 2002.
Institutionen för Matematik,KTH Olle Stormark 5B1107 Differential- och integralkalkyl II, del 2 för F1, 6 poäng, vt 2002. Kurslitteratur: Calculus av Robert A. Adams (fourth edition). Kursen omfattar följande
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merJulia Viro KURSBESKRIVNING
Analys MN2 Uppsala universitet Matematiska institutionen Kursbeskrivning och läsanvisningar Julia Viro 2007-01-22 KURSBESKRIVNING Lärare: Julia Viro (julia@math.uu.se), föreläsningar och lektioner för
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merOutline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09. Carl-Henrik Fant
Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht09 Kapitel 6. -
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08
Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08 Omfattning 6., 6.3-6.5 Innehåll: Gradient, divergens, rotation, Greens sats/formel, divergenssatsen i två och tre dimensioner, tokes sats tma043 V6, Ht08 bild Mål: För
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merStudiehandledning. till 5B4004 ANALYS II. Distanskurs 10 poäng
Studiehandledning till 5B4004 ANALYS II Distanskurs 10 poäng Kurslitteratur: Persson/Böiers: Analys i flera variabler./ Studentlitteratur. Övningar till Analys i flera variabler/ Lunds Tekniska Högskola
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merFöreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, 11. 16.2: 9, 15, 17. Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merCampus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)
ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov 734-4 3 3 (Mikael Forsberg) Campus och distans Flervariabelanalys mag3 7 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna
Läs merAB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats
AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merVEKTORANALYS Kursprogram VT 2018
VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Anals B för KB/TB (TATA9/TEN1 214-3-21 kl 14 19 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betgsgränser:
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 28-8-3 kl. 8.32.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Felix Held, telefon: 6792 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ej räknedosa För
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
Institutionen för matematik SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A 1. Betrakta funktionen fx, y = x + y och området D som ges av olikheterna x, y och x + y 1.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merLektionsblad 9, tis 16/2 2010
Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Först en gång till optimering med bivillkor. Lös uppgifterna 4.25 (om du har problem med denna väldigt typiska uppgift, så studera även lösningen till 4.24), 4.26 (nästan
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs mer* Läsvecka 1 * Läsvecka 2 * Läsvecka 3 * Läsvecka 4 * Läsvecka 5 * Läsvecka 6 * Läsvecka 7 * Tentamenssvecka. Läsvecka 1
Detta är en preliminär planering över undervisningen i kursen och är tänkt att hjälpa dig att få ut så mycket som möjligt av föreläsningarna. Till varje föreläsningsdag finns förberedelser, innehåll och
Läs merTavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén
Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner
Läs merTMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merFlervariabelanalys E2
Flervariabelanalys E2 Johan Jonasson Oktober 2012 1 Kurvor på parameterform Här betraktas vektorvärda funktioner r : R R 2 eller r : R R 3. Vi beskriver det sistnämnda fallet, eftersom det förstnämnda
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merTentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 5--9 kl. 8.3.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Mattias Lennartsson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs merTentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merTMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv
Läs merFlervariabelanalys. Undervisning Undervisning sker i form av föreläsningar (39 st) och lektioner (20 st).
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2012 Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Kursen behandlar följande ämnen: 1. Flervariabelanalys. Kursbok är Calculus: a complete
Läs mer= 0 genom att införa de nya
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Administrativt 0 Anmäl er till tentan! Vektoranalys 1 Dagens program: Vektorfält Konservativa vektorfält Potentialfunktioner Bokens kapitel 15.1-15.2
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merVektoranalys, snabbrepetition. Vektorfält
Vektorfält Ett vektorfält F är en funktion F : R 2 R 2. (Eller mer allmänt en funktion R n R n.) Observera att F(x, y) har två komponenter, som båda beror av x och y. Låt oss kalla dessa komponenter för
Läs mer1 Några elementära operationer.
Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5
Läs merLäsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1
Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Dag 1 Avsnitt 6.1 Definition av trappfunktion och integral av en trappfunktion. Räkneregler (de är mer eller mindre uppenbara). Definition av Riemannintegralen
Läs merOmtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs mer